电路中用到的复数

<<<写在前面>>>

复数？电路为什么会用到虚数的概念，中学学习过电路基本欧姆定律，但对于感性和容性电路中我们不能再简单的用欧姆定律来解决。电容电感储能的方式都是以积分的形式。至于复数，只是一个工具而已。

电感电容的基本方程

这是两个微分方程

对于电容（其中C是电容值，u是电容两端电压）：

i = C\frac{du}{dt}

对于电感（其中L是电感量，i是流经电感电流）：

u = L\frac{di}{dt}

RC电路线性方程基本求解

RC电路模型

对于图一而言，以下方程为一阶常系数线性非齐次微分方程（E(t)为电压源输出电压）

E(t)=RC\frac{du_{C}(t)}{dt}+u_{C}(t) \tag{1}

基尔霍夫定律得（KVL）：电源电压=电阻分压+电容分压

其中电阻电压为：

u_{R}(t)=R*i(t) = R * C\frac{du_{C}(t)}{dt}

求解

非齐次通解=其次通解+特解。

通解

对于方程（1），通解为：

RC\frac{du_{C}(t)}{dt}+u_{C}(t)=0

\frac{du_{C}(t)}{u_{C}(t)}=-\frac{1}{RC}dt

两边积分可得

\ln|u_{C}(t)| + C_1=-\frac{t}{RC}+C_2

合并常数k，可得：

\ln|u_{C}(t)|=-\frac{t}{RC}+K

通解为：

u_{C}(t)=Ae^{-\frac{t}{RC}}(A = e^{K})\tag{2}

特解

电路稳定时，电源电压等于电容两端电压，即：

u_{C}^{*}(t)

非齐次方程通解

u_{C}(t)=Ae^{-\frac{t}{RC}} + u_{C}^{*}(t)

求A

令 $t = 0$ ，可得：

A = u_{C}(0)-u_{C}^{*}(0)

3式为RC电路求解最终结果。

u_{C}(t)=(u_{C}(0)-u_{C}^{*}(0))e^{-\frac{t}{RC}} + u_{C}^{*}(t)\tag{3}

电感同理可得。

i_{L}(t)=\left(i_{L}(0)-i_{L}^{*}(0)\right)e^{-\frac{Rt}{L}} + i_{L}^{*}(t)\tag{4}

上述步骤十分繁琐，一阶方程计算量如此，如果是二阶方程，计算量会大大增加。

RCL二阶求解

RCL 电路的二阶线性微分方程

对于 RCL 串联电路，设电源电压为 $e(t)$ ，电阻R、电容C、电感L，电容电压为 $u_{C}(t)$ ，回路电流为 $i(t)$ 。
根据基尔霍夫电压定律：

e(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+u_{C}(t)

由于 $i(t)=C\frac{du_{C}(t)}{dt}$ ，令 $y = u_{C}(t)$ ，可得二阶线性微分方程：

LC\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+RC\frac{dy}{dt}+y = e(t)

求解齐次方程

特征方程：
对应的齐次方程为 $LC\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+RC\frac{dy}{dt}+y = 0$ 设 $y = e^{st}$ ，代入可得特征方程： $LCs^{2}+RCs + 1=0$
特征根与齐次通解的三种情况：
特征方程的根 $s_{1,2}=\frac{-RC\pm\sqrt{(RC)^{2}-4LC}}{2LC}$ $s_{1, 2} = \frac{- R C \pm ( R C ) ^{2} - 4 L C}{2 L C}$
- 过阻尼情况 $(RC)^{2}-4LC>0$ ：
  齐次方程的通解为 $y_{h}(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$ 其中 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 为任意常数，由初始条件确定。
- 临界阻尼情况 $(RC)^{2}-4LC = 0$ ：
  齐次方程的通解为
  $y_{h}(t)=(A_{1}+A_{2}t)e^{s_{1}t}$ $s_{1}=-\frac{R}{2L}$ ， $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 为任意常数，由初始条件确定。
- 欠阻尼情况 $(RC)^{2}-4LC<0$ ：
  令 $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ ， $\alpha=\frac{R}{2L}$ ， $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}$
  齐次方程的通解为
$y_{h}(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}\cos\omega t + A_{2}\sin\omega t)$
$A_{1}$ $A_{1}$ 和 $A_{2}$ $A_{2}$ 为任意常数，由初始条件确定。

求解非齐次方程的特解 $y_{p}(t)$

根据电源电压 $e(t)$ 的形式求解特解。

若 $e(t)=E_{0}$ （直流电源），则特解 $y_{p}(t)=E_{0}$ 。
若 $e(t)=E_{m}\sin(\omega_{e}t)$ ，设特解 $y_{p}(t)=B_{1}\sin(\omega_{e}t)+B_{2}\cos(\omega_{e}t)$ ，代入原方程通过比较系数求出 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 的值。

求非齐次方程的通解

非齐次方程的通解 $y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)$ 。

过阻尼情况下：

y(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}+y_{p}(t)

临界阻尼情况下：

y(t)=(A_{1}+A_{2}t)e^{s_{1}t}+y_{p}(t)

欠阻尼情况下：

y(t)=e^{-\alpha t}(A_{1}\cos\omega t + A_{2}\sin\omega t)+y_{p}(t)

其中 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 由初始条件（如初始电容电压 $y(0)$ 和初始电容电压变化率 $y^{\prime}(0)$ ）确定。

复数引入

电路方程与复阻抗

上述 RC 串联电路中，设输入源交流电源电压 $u = U_m\sin(\omega t)$ ，电流 $i = I_m\sin(\omega t+\varphi)$ 。

对于电阻：
$u_R = Ri$
在向量表示中，电阻两端电压向量 $\dot{U}_R$ 与电流向量 $\dot{I}$ 同相。
对于电容：
容抗： $X_C=\frac{1}{\omega C}$
电流： $i = C\frac{du_C}{dt}$
向量表示中，电容两端电压向量 $\dot{U}_C$ 滞后电流向量 $\dot{I}$ 90°。

根据基尔霍夫电压定律

\dot{U}=\dot{U}_R+\dot{U}_C

上式从复阻抗的角度来看， $Z = R - jX_C$ ，电流向量 $\dot{I}=\frac{\dot{U}}{Z}$ 。

复数变换

这篇文章非常详细解析了由欧拉公式推导出的复数与极坐标的转换
电路分析第七章（相量法基础）「CSDN」

极坐标转直角 a，b

a = r\cos\theta

b = r\sin\theta

直角转极坐标r，θ

r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

\begin{cases}\theta=\arctan(\frac{b}{a}) & (a>0)\\\theta=\pi+\arctan(\frac{b}{a}) & (a<0, b\geq0)\\\theta=-\pi+\arctan(\frac{b}{a}) & (a<0, b<0)\\\theta=\frac{\pi}{2} & (a = 0, b>0)\\\theta=-\frac{\pi}{2} & (a = 0, b<0)\end{cases}

计算电流向量和电压向量

计算电流向量：
设电源电压向量 $\dot{U}=U\angle0^{\circ}$ （设初相为 $0$ ），则电流向量 $\dot{I}=\frac{\dot{U}}{Z}=\frac{U\angle0^{\circ}}{R - j\frac{1}{\omega C}}$ 。
$Z = R - j\frac{1}{\omega C}=\sqrt{R^{2}+(\frac{1}{\omega C})^{2}}\angle - \varphi \quad (\text{其中}\tan\varphi=\frac{1}{\omega RC})$
所以
$\dot{I}=\frac{U}{\sqrt{R^{2}+(\frac{1}{\omega C})^{2}}}\angle\varphi$
其中
$\varphi=\arctan(\frac{1}{\omega RC})$
计算电阻电压向量和电容电压向量：
对于电阻：
$\dot{U}_R = R\dot{I}=R\times\frac{U}{\sqrt{R^{2}+(\frac{1}{\omega C})^{2}}}\angle\varphi$
对于电容：
$\dot{U}_C=-j\frac{1}{\omega C}\dot{I}=\frac{U}{\omega C\sqrt{R^{2}+(\frac{1}{\omega C})^{2}}}\angle(\varphi - 90^{\circ})$